Exercice 1

On considère la fonction f de $\mathbb {R}$-{3} dans $\mathbb {R}$ définie par :

f (x) = (x + 1)ln| x - 3|

1. Calculer la derivée première f' et seconde f'' de f.
   En déduire les variations de f'.
2. Calculer les limites de f' en - $\infty$ et en 3 à gauche.
3. Montrer que f' s'annule une seule fois en $\alpha$ sur ] - $\infty$;3[. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0.1.
4. Étudier le signe de f'(x) sur $\mathbb {R}$-{3} et en déduire les variations de f.
5. Tracer la courbe C de f dans un repère orthonormé (unité 1cm).
6. Calculer l'aire en cm² de la région comprise entre C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = - 1 et x = 2.

Réponses

1. On tape pour définir la fonction f :
   f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))
   On tape pour définir la fonction f' :
   f1:=function_diff(f):;
   puis,
   f1(x)
   On obtient :
   ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)
   Donc f'(x) = ln(| x - 3|) + $${\frac{{x+1}}{{x-3}}}$$.
   On tape pour définir la fonction f'' :
   f2:=function_diff(f1):;
   puis,
   f2(x)
   On obtient :
   1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))
   puis pour simplifier l'écriture, on tape :
   normal(f2(x))
   On obtient :
   (x-7)/(x^2-6*x+9)
   ou bien pour factoriser, on tape :
   factor(f2(x))
   On obtient :
   (x-7)/((x-3)^2)
   Donc f''(x) = $${\frac{{x-7}}{{(x-3)^2}}}$$

   Autre façon
   On tape pour définir la fonction f :

   f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))
   On tape pour calculer f'(x) :
   dfx:=diff(f(x)
   On obtient :
   ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)
   Donc f'(x) = ln(| x - 3|) + $${\frac{{x+1}}{{x-3}}}$$.
   Et on tape pour définir la fonction f' à partir de dfx:
   f1:=unapply(dfx,x);
   On tape pour calculer f''(x) :
   ddfx:=diff(dfx)
   On obtient :
   1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))
   ou pour avoir une écriture factorisée, on tape directement :
   ddfx:=factor(diff(dfx))
   On obtient :
   (x-7)/((x-3)^2)
   Donc f''(x) = $${\frac{{x-7}}{{(x-3)^2}}}$$
   Et on tape pour définir la fonction f'' à partir de ddfx:
   f2:=unapply(ddfx,x);
   Cette façon de faire à l'avantage de définir la fonction f2 = f'' à partir d'une expression simplifiée ou factorisée.
   Attention !!! On ne peut pas écrire par exemple :
   g(x):=normal(diff(f(x))) pour définir la fonction g = f' mais on doit écrire g:=unapply(normal(diff(f(x))),x) car sinon il y a confusion entre x variable de dérivation et x variable de la fonction g.

2. On tape pour avoir la limite de f' en - $\infty$ :
   limit(f1(x),x,-infinity)
   On obtient :
   +infinity
   On tape pour avoir la limite de f' en 3^- :
   limit(f1(x),x,3,-1)
   On obtient :
   -infinity
3. f' est continue et décroissante de + $\infty$ à - $\infty$ sur ] - $\infty$;3[ puisque f''(x) < 0 sur ] - $\infty$;3[. Il existe donc $\alpha$ unique dans ] - $\infty$;3[ tel que f'($\alpha$) = 0.
   On tape pour avoir une valeur approchée de $\alpha$ :
   assume(x<3);fsolve(f1(x),x)
   On obtient :
   x,0.776592890991
   Puis, on tape pour enlever l'hypothèse sur x :
   purge(x)
   On tape :
   f1(0.7)
   On obtient :
   0.0937786881525
   On tape :
   f1(0.8)
   On obtient :
   -0.0297244578175
   On a f1(0.7) > 0 et f1(0.8) < 0 donc 0.7 < $\alpha$ < 0;8.
4. Puisque f''(7) = 0, on tape pour avoir le minimum de f' sur ]3; + $\infty$[ :
   f1(7)
   On obtient :
   ln(4)+2
   Le minimum de f' sur ]3; + $\infty$[ est donc positif.
   Donc f'(x) > 0 si x $\in$  ] - $\infty$;$\alpha$[  $\cup$  ]3; + $\infty$[  et f'(x) < 0 si x $\in$  ]$\alpha$;3[.
   Donc f est croissante sur  ] - $\infty$;$\alpha$[  $\cup$  ]3; + $\infty$[  et est décroissante sur  ]$\alpha$;3[.
5. On cherche les limites de f en - $\infty$, + $\infty$, et en 3.
   On tape :
   limit(f(x),x,-infinity)
   On obtient :
   -infinity
   On tape :
   limit(f(x),x,+infinity)
   On obtient :
   +infinity
   On tape :
   limit(f(x),x,3)
   On obtient :
   -infinity
   On trace les graphes de f et des deux droites x = - 1 et x = 2, on tape :
   plofunc(f(x),x);droite(x=1);droite(x=2)
   On obtient le tracé du graphe de f et le tracé des droites x = - 1 et x = 2.
6. On tape pour trouver l'aire en cm² :
   integrate(f(x),x,-1,2)
   On obtient :
   8*ln(4)-12+15/4
   On tape :
   normal(8*ln(4)-12+15/4))
   On obtient :
   8*ln(4)-33/4
   On tape si on veut faire l'intégration par parties :
   ibpu((x+1)*ln(abs(x-3)),ln(abs(x-3)))
   On obtient :
   [((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)]
   On tape pour terminer l'intégration :
   A:=ibpu([((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)],0)
   On obtient :
   (-x^2-10*x)/4-15*1/2*ln(abs(x-3))+((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3))
   On tape :
   preval(A,-1,2)
   On obtient :
   8*ln(4)-9/4-6)
   On tape :
   normal(8*ln(4)-9/4-6))
   On obtient :
   8*ln(4)-33/4
   Donc l'aire cherchée vaut (8*ln(4) - 33/4)cm²;